Solución particular de una ecuación diferencial ordinaria de Cauchy Euler no homogénea de segundo orden aplicando el método ECA

Resumen

Las ecuaciones diferenciales han sido una herramienta fundamental en múltiples áreas de la ciencia y la tecnología, ya que permiten describir fenómenos dinámicos y establecer conexiones entre variables en sistemas complejos. En este artículo se aborda la resolución particular de una ecuación diferencial ordinaria no homogénea de segundo orden del tipo x2y′′+xy′=f(x)x^2 y'' + x y' = f(x)x2y′′+xy′=f(x), conocida como ecuación de Cauchy-Euler. Para resolverla, se utiliza el método ECA, que se basa en un cambio de variable con el objetivo de transformarla en una ecuación diferencial lineal de coeficientes constantes. Posteriormente, la solución se expresa nuevamente en términos de la variable original, obteniendo así una solución particular equivalente a la que se lograría mediante el método de variación de parámetros o el uso de herramientas computacionales. El enfoque adoptado es de carácter analítico y considera distintos escenarios según las raíces de la ecuación auxiliar, ya sean reales distintas o reales repetidas. Los resultados fueron comparados con los obtenidos por otros métodos como variación de parámetros, transformación a coeficientes constantes y programas matemáticos como Symbolab y Wolfram. Se concluye que el método ECA ofrece una alternativa eficaz para resolver ecuaciones de Cauchy-Euler, optimizando los cálculos sin sacrificar exactitud.